Traitement et reconnaissance d’images

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TERI : Traitement et 

reconnaissance d’images 

Cours Master 2 IAD Cours Master 2 IAD 

Isabelle Bloch ­ ENST / Département Signal & Images Florence Tupin ­ ENST / Département Signal & Images Antoine Manzanera – ENSTA / Unité d’Électronique et d’Informatique 

Antoine MANZANERA ­ Cours TERI – Master IAD UPMC Paris 6 

TERI – Objectifs du cours 

L’objectif du cours « Traitement et Reconnaissance d’Images » est de proposer une formation de base en analyse d’images et reconnaissance des formes. 

Il est a destiné à tous les élèves suivant le Master IA et Décision ; les liens entre l’Image, la Vision et l’Intelligence Artificielle seront abordés à plusieurs reprises. 

On présentera les connaissances de base sur les images discrètes (théorie de l’information), leur représentation (structures discrètes), et leur exploitation (filtrage et amélioration). L’analyse automatique des images sera développée à travers un problème phare : celui de la segmentation d’images. 

On abordera également des notions de plus haut niveau sur la compréhension automatique du contenu des images (classification et reconnaissance des formes). Le cours s’accompagnera d’une partie pratique : TP sur machine + TD exercices. Enfin, une ouverture sur les applications et les débouchés industriels sera présentée. 

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TERI – Planning du cours 

* Cours 1 : Introduction + échantillonnage (4h) (Antoine Manzanera) 

* Cours 2 : Filtrage et détection de contours (3h) (Antoine Manzanera) 

* Cours 3 : Introduction à la segmentation (2h) (Antoine Manzanera) 

* Cours 4 : Perceptions et modèles (2h) (Antoine Manzanera) 

* Cours 5 : Reconnaissance des formes et classification (4h) (Florence Tupin) 

* TP Machines : TP Introduction à l’image (4h) (Florence Tupin – Nicolas Loménie) 

* TD Exercices : Séance de travaux dirigés (4h) (Séverine Dubuisson) 

* Cours 6 : Descripteurs d’images (2h) (A. Manzanera) 

* Cours 7 : Applications du traitement d’images (2h) (F. Tupin) 

Détails pratiques, Organisation des examens, Supports de cours,… : 

http://www.tsi.enst.fr/~bloch/P6Image/TERI.html 

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Introduction au TI – Plan du cours 

I Développement du TI et domaines connexes 

I­1 Historique du Traitement d’images (TI) I­2 TI et vision par ordinateur I­3 TI et Intelligence Artificielle I­4 TI et perception visuelle II Introduction aux images numériques 

II­1 Modalités II­2 Vocabulaire II­3 Échantillonnage et quantification III Les modèles formels du TI 

III­1 Le modèle linéaire : la convolution… III­2 Le modèle fréquentiel : la transformée de Fourier, l’échantillonnage… III­3 Le modèle statistique : l’histogramme, la quantification, l’entropie,… III­4 Le modèle différentiel : gradients, isophotes, équations différentielles,… III­5 Le modèle ensembliste : morphologie mathématique,… III­6 Le modèle discret : maillage, connexité, distances,… 

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1950 

2005 

Historique du Traitement d’Images 

Images de chambre à bulles 

Restauration 

EMPIRISME 

Amélioration 

VISION ACTIVE 

RECONSTRUCTIONISME Caractères typographiés 

MORPHOLOGIE 

Classification 

Imagerie satellite 

MATHEMATIQUE Imagerie médicaleet aérienne Télesurveillance 

et armement 

EDP & SCALE SPACE 

Contrôle qualitéDétection 

Poursuite 

Indexation 

page 5 Reconstruction 

Robotique mobile 

Localisation 

Gestion des données multimedia 

Compression 

TI & vision par ordinateur 

Vision industrielle Vision robotique 

Traitement d’Images Multimedia Adéquation Algorithme Architecture 

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Sc ène Codage / compression 

Calcul de gradient 

Détection de contours 

Filtrage 

Acquisition 

Traitement ∑p∈S 

Systèmes à base de TI 

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Transmission 

Amélioration 

Analyse 

Compréhension 

Segmentation 

Ux∈I g 

f I x 

Extraction d’attributs 

∂ ∂I 

x p 

Décodage / restitution 

TI & Intelligence Artificielle 

Dans la conception moderne de l’Intelligence Artificielle dite située (i.e. mise en situation) ou incarnée (i.e. introduite dans un « acteur »), la machine agit sur le monde extérieur, éventuellement se déplace, et aussi perçoit son environnement pour pouvoir s’y adapter. 

La vision est une source extrêmement riche d’information, qui permet à la machine de se localiser, reconnaître des objets ou des personnes, à un coût faible, une énergie raisonnable, et de manière passive (i.e. sans émettre de signal). 

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TI & Intelligence Artificielle 

Réciproquement, le traitement d’image et la vision tirent parti des connaissances et des techniques d’intelligence artificielle pour gérer l’adaptation à un environnement changeant, l’information incertaine, les systèmes hétérogènes de connaissances et les différents niveaux de prise de décision. 

Apprentissage 

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Représentation de l’incertain 

Modélisation des connaissances 

Raisonnement et décision 

TI & perception visuelle 

Une difficulté fondamentale de la vision artificielle vient du manque de connaissance profonde des mécanismes qui régissent la compréhension des images dans la nature. La vision humaine est en effet extrêmement performante (déplacement, lecture, reconnaissance), mais nous n’avons aucun retour conscient sur la mécanismes mis en jeu (à la différence du jeu d’échec par exemple). En cela l’étude des mécanismes physiologiques et psychologiques de la vision sont une source très importante d’information, et d’inspiration. 

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TI & perception visuelle 

Exemple : l’illusion de l’échiquier. Plusieurs mécanismes sont en jeu, du très bas niveau (renforcement local des contrastes) au très haut niveau (interprétation de l’ombre et reconnaissance d’un échiquier) 

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TI & perception visuelle 

Exemple : l’illusion de l’échiquier. Plusieurs mécanismes sont en jeu, du très bas niveau (renforcement local des contrastes) au très haut niveau (interprétation de l’ombre et reconnaissance d’un échiquier) 

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I­1 Types d’images, de capteurs 

Phénomène physique Grandeur mesurée Capteur 

Émission et réflexion de la lumière visible 

Réflectivité, luminance,… 

CCD, CMOS, Barrettes CCD,… 

CCD, CMOS, Barrettes CCD,… 

Rayonnement infra­rouge 

Luminance IR (chaleur), … 

Bolomètres,… 

Bolomètres,… 

Écho ultra sonore 

Distance, densité de tissus,… 

Échographie, sonar,… 

Échographie, sonar,… 

Résonance magnétique 

Présence d’un corps chimique,… IRM, RMN,… 

Écho électromagnétique 

Distance, spécularité de surfaces,.. 

Radar, SAR,… 

Radar, SAR,… 

Absorption des rayons X 

Densité de tissus,… 

Radiographie, tomographie,… 

Radiographie, tomographie,… 

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Images numériques 

x 

R(x,y) I(x,y) 

y 

La quantification désigne la limitation du nombre de valeurs différentes que peut prendre I(x,y). 

L’échantillonnage est le procédé de discrétisation spatiale d’une image consistant à associer à chaque zone rectangulaire R(x,y) d’une image continue une unique valeur I(x,y). On parle de sous­échantillonnage lorsque l’image est déjà discrétisée et qu’on diminue le nombre d’échantillons. 

Une image numérique est une image échantillonnée et quantifiée. 

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Pixels et niveaux de gris 

O 

Largeur 

i 

Indice de colonne 

j 

Hauteur 

Le pixel [i,j] 

I[i,j] = N 

Indice de 

ligne Une image numérique I 

N ∈ [Nmin,Nmax] 

Valeur Niveau de gris 

(Nmax ­ Nmin) = nombre de niveaux de gris Log2(Nmax ­ Nmin) = dynamique 

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Échantillonnage et quantification 

Résolution… 

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…spatiale : 

…tonale : 

Échantillonnage 

Quantification 

256×256 128×128 64×64 32×32 

6 bits 4 bits 3 bits 2 bits 1 bit 

Échantillonnage et information 

L’échantillonnage est une étape fondamentale qui doit tenir compte du contenu informationnel pertinent de l’image à analyser. Sur l’exemple ci­ contre, en 1d, le signal échantillonné « ressemble » à une sinusoïde de fréquence 8 fois plus faible : 

Ce phénomène appelé aliasing est encore pire en 2d, car il affecte la fréquence et la direction des structures périodiques. Imaginons par exemple qu’on souhaite échantillonner l’image correspondant aux bandes noires ci­contre : 

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Échantillonnage et information 

Avec un échantillonnage adapté, l’image numérique fait apparaître des structures conformes à l’information présente dans l’image : 

Mais en considérant seulement 1 échantillon sur 2, une structure différente apparaît, dont l’analyse (ici des bandes verticales, plus épaisses) ne sera pas conforme à la réalité de l’objet : 

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Échantillonnage et information 

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Et sur une image naturelle : 

Image originale Image sous­échantillonnée 

Un exemple, sur une image de synthèse : 

Quantification et information 

La quantification peut également faire apparaître des distortions dans les images : 

Comme pour l’échantillonnage, il existe des règles pour déterminer la bonne quantification (le bon nombre de bits) pour coder les images numériques. L’une dépend du capteur, et de sa capacité effective à observer des signaux de valeurs différentes : le rapport signal sur bruit. Le rapport signal sur bruit est défini à partir du rapport entre l’amplitude des niveaux de gris mesurables par le capteur (nmax ­ nmin) et le niveau du bruit, en gros l’écart­type sn de la perturbation aléatoire qui affecte les niveaux de gris. En prenant le logarithme, on a le nombre de bits utile au capteur pour coder les images. 

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Quantification et information 

Outre les capacités du capteur, le nombre de bits réellement nécessaires pour coder une image varie d’une image à l’autre, en fonction de leur contenu informationnel. Ce nombre dépend de l’entropie, définie à partir de la distribution des niveaux de gris de l’image (cf plus loin, modèle statistique). 

E=∑−pilog2piiN Où N est le nombre de niveaux de gris présents, pi est la proportion (0 < pi < 1) de points de l’image ayant pour niveau de gris i. Cette grandeur représente le nombre moyen de bits par pixel nécessaires pour coder toute l’information présente. Elle est utilisée dans les techniques de compression sans perte pour adapter le volume de donnée des images à leur contenu informationnel. 

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III Modèles et outils fondamentaux 

Dans la suite, on présente une introduction aux outils d’analyse d’images numériques les plus courants. Pour des raisons didactiques, la présentation est organisée selon les principaux modèles mathématiques qui ont été employés pour traiter les images. Ces différents modèles ne sont cependant ni exclusifs ni cloisonnés, et la séparation ne sera pratiquement plus visible dans les cours suivants. Aux différents modèles présentés correspondent un certain nombre d’outils fondamentaux, qui se sont révélés au cours du temps plus ou moins incontournables, que ce soit d’un point de vue pratique ou théorique. Citons : la convolution, la transformée de Fourier, l’histogramme, les pyramides, la corrélation, la transformée en tout­ou­rien, les ondelettes… Nous donnons dans la suite de ce cours une introduction aux outils les plus basiques ou les plus courants. Les autres seront traités ou approfondis dans la suite du cours TERI, ou dans les autres cours optionnels. 

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III­1 : Le modèle linéaire 

Dans le modèle linéaire, la structure mathématique sous­jacente est l’Espace Vectoriel. Les opérateurs fondamentaux sont ceux qui préservent la structure d’espace vectoriel, c’est­à­dire les applications linéaires : 

f IJ=f If Jf I = f I  

Pour les images, ces opérateurs correspondent aux convolutions : 

La convolution : 

C’est l’opérateur de base du traitement linéaire des images. Apparue très tôt dans les premiers systèmes d’analyse d’images sous forme empirique et justifiée par des considérations d’implantation, ce n’est que plus tard qu’on a fourni des justifications physiques et fait le lien théorique avec les filtres et le traitement du signal. 

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Antoine La Convolution Soit I une image numérique. Soit h une fonction de [x1,x2]×[y1,y2] à valeurs réelles. La convolution de I par h est définie par : 

I∗h[x,y]=∑x2 ∑y2 

h[i,j]⋅I[x−i,y− j] 

i=x1 

j=y1 

La fonction h est dite noyau de convolution Propriétés de la convolution : 

x 

COMMUTATIVITÉ 

h∗g=g∗h 

y 

ASSOCIATIVITÉ 

h∗g∗k=h∗g∗k=h∗g∗k 

Les nouvelles valeurs du pixel sont calculées par produit scalaire entre le noyau de convolution et le 

DISTRIBUTIVITÉ / + 

h∗gk =h∗gh∗k 

voisinage correspondant du pixel. 

MANZANERA ­ Cours TERI – Master IAD UPMC Paris 6page 24 

h[x,y] 

Antoine La Convolution Exemple : 

1/152 

24 Pour calculer une convolution, on remplace la valeur de chaque pixel par la valeur du produit scalaire entre les valeurs du noyau de convolution et les valeurs du voisinage du pixel considéré (par rapport à l’origine (0,0) du noyau de convolution). Attention : implémentation « parallèle ». 

MANZANERA ­ Cours TERI – Master IAD UPMC Paris 6page 25 

55511111116161616111111115 5 5 

161616242424161616165 5 5 11 11 11 

16 16 1616 

11 11 1111 5 5 5 

Antoine MANZANERA ­ Cours TERI – Master IAD UPMC Paris 6 

Le modèle fréquentiel tend à décrire l’image en termes de structures périodiques, en la décomposant dans une base de fonctions périodiques simples, comme des sinusoïdes : 

La transformée de Fourier : 

Outil fondamental d’analyse en traitement du signal, le pendant bidimensionnel de la TF et sa version discrète peut être appliqué avec profit aux images numériques. Si son utilisation en tant qu’outil analytique et algorithmique s’est estompée en traitement d’images au profit d’approches mieux adaptées à la localisation spatiale des fréquences (ondelettes), elle reste un outil théorique et pédagogique important : la formalisation du phénomène de l’aliasing et des contraintes d’échantillonnage en est un exemple (voir cours Espace d’échelles). 

III­2 : Le modèle fréquentiel 

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Transformée de Fourier 

La transformée de Fourier permet la décomposition d’un signal f en combinaison linéaire de sinusoïdes complexes, dont les coefficients F[u,v] dit coefficients de Fourier, fournissent des informations sur les fréquences (u,v) et permettent des manipulations dans le domaine fréquentiel. 

Transformée de Fourier discrète bidimensionnelle : 

(x,y) sont les coordonnées du domaine spatial 

Directe : F[u,v]=∑w−1h−1 

∑f [x,y]e−2iuxvy/wh x =0 

y=0 

(u,v) sont les coordonnées du domaine fréquentiel 

Inverse : 

f [x,y]= wh 1w−1∑∑h−1 

F[u,v]e2iuxvy/wh 

u=0 

v=0 Propriétés de la transformée de Fourier (1) : 

ÉCRITURE SOUS FORME MODULE / PHASE 

F [u,v]=∥F [u,v]∥ei [ u,v] 

PÉRIODICITÉ 

F [u,v]=F [uw,vh] 

SYMÉTRIE Si F est la transformée de Fourier d’une fonction réelle f : 

F [u,v]=F [−u ,−v] et donc : ∥F [u,v]∥=∥F [−u ,−v]∥ et [u,v]=−[−u ,−v ] Antoine MANZANERA ­ Cours TERI – Master IAD UPMC Paris 6 

page 27 

Transformée de Fourier 

Propriétés de la transformée de Fourier (2) : 

si 

{ f f f 12[ [ [ x x x ,y ,y ,y ] ] ]    F F F 12 [u,v [u,v [u,v]} 

] 

] 

LINEARITÉ 

a⋅f 1[ x,y]b⋅f 2 [ x,y]  a⋅F 1[u,v]b⋅F 2[u,v] 

CORRESPONDANCE CONVOLUTION / PRODUIT 

f 1[ x,y]∗ f 2[ x,y]  F 1[u,v ]⋅F 2[u,v] 

f 1[ x,y]⋅f 2[ x ,y ]  F 1[u,v ]∗F 2[u,v] 

page 28 TRANSLATIONS SPATIALES / FRÉQUENTIELLES 

DÉRIVATION 

THÉORÈME DE PARSEVAL ∂ f [ x,y ∂ x ] 

iuF[u,v ] et 

∂ f [ x,y] 

∂ y ivF[u,v] f [ x−x’,y−y’ ]  F [u,v]⋅e−2i ux ‘vy ‘ /wh f [ x,y]⋅e2iu’ xv’ y/ wh F [u−u’ ,v−v’ ] 

w−1 ∑h−1∑x=0 y=0 

∥f [ x,y]∥2= wh 1w−1∑h ∑−1∥F [u,v]∥2 

u= 0 

v=0 Antoine MANZANERA ­ Cours TERI – Master IAD UPMC Paris 6 

Module Phase 

u 

Image 

v 

v 

u 

f [ x,y] ln ∥F [u,v]∥  [u,v] 

TF 

QUIZZ ­ Transformée de Fourier 

Antoine MANZANERA ­ Cours TERI – Master IAD UPMC Paris 6 

Attribuez à chaque image son spectre de Fourier 

(1) (2) (3) (4) 

(a) (b) (c) (d) 

QUIZZ ­ Transformée de Fourier 

Antoine MANZANERA ­ Cours TERI – Master IAD UPMC Paris 6 

Attribuez à chaque image son spectre de Fourier 

(1) (2) (3) (4) 

(a) (b) (c) (d) 

III­3 : Le modèle statistique 

On s’intéresse dans ce modèle aux propriétés statistiques des images : la distribution des valeurs prises par les pixels, la corrélation existant entre des pixels spatialement proches, la fréquence d’occurrence de certaines structures spatiales… Les mesures statistiques fournissent des grandeurs et fonctions empiriques sur lesquelles peuvent s’appuyer des modèles probabilistes utilisés par les algorithmes d’analyse d’images. 

Par exemple, le modèle des champs de Markov considère l’image comme la réalisation d’un champ aléatoire (chaque pixel correspondant à une variable aléatoire), où la valeur prise par un pixel ne dépend que de celle de ses voisins (selon une topologie discrète donnée, voir plus loin). 

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page 31 

III­3 : Le modèle statistique 

Un autre exemple remarquable d’analyse statistique est l’utilisation des matrices de co­ occurrence, habituellement utilisées pour caractériser les textures. 

j La matrice de co­occurrence Mv associée au vecteur v, est la matrice de taille N x N ( N est le nombre de niveaux de gris), tel que Mv(i,j) représente la fréquence du couple de valeurs (i,j) 

i 

v i j 

parmi les couples de pixels (x,x+v). 

Ces techniques, et d’autres exemples de modèles statistiques seront présentées plus en détail dans les prochains cours. Dans le cadre de cette introduction, nous développerons seulement le premier outil statistique d’analyse des images : l’histogramme. 

L’histogramme : 

Outil de base pour l’étude des capteurs ou de la dynamique d’une scène, il est utilisé par certains opérateurs d’analyse. On retiendra cependant qu’il ne faut pas considérer l’histogramme comme une caractéristique fondamentale de l’image dans la mesure où on peut le transformer radicalement sans changer significativement l’image. 

Antoine MANZANERA ­ Cours TERI – Master IAD UPMC Paris 6 

page 32 

Antoine Histogramme 

W 

H 

L’histogramme représente la répartition des pixels en fonction de leur niveau de gris. Il fournit diverses informations comme les statistiques d’ordre (voir ci­ contre), l’entropie (voir précédemment), et peut permettre d’isoler des objets. 

Min Médian Max MANZANERA ­ Cours TERI – Master IAD UPMC Paris 6page 33 

H(x) 

HC(x) 

H(x) est le nombre de pixels dont le niveau de gris est égal à x. 

Histogramme cumulatif normalisé 

Effectif relatif 

HC(x) est le taux de pixels dont le niveau de gris est inférieur à x. 

Niveau de gris 

∑x 

H xHCx=i=٠ 

W×H 

Effectif 

Histogramme 

Niveau de gris 

Traitement à base d’histogramme 

On présente dans la suite quelques traitement d’analyse effectués uniquement à partir de l’histogramme. Retenons que certains de ces traitements sont souvent calculés au niveau des capteurs, et qu’en général leur pertinence est très intimement liée aux conditions d’acquisition. 

(1) Normalisation 

→ exploiter toute la dynamique de codage. 

(2) Égalisation 

→ équilibrer la dynamique de codage et augmenter le contraste. 

(3) Segmentation 

→ simplifier l’image en regroupant les pixels selon leurs valeurs. 

Antoine MANZANERA ­ Cours TERI – Master IAD UPMC Paris 6 

page 34 

Histogramme : normalisation 

La normalisation d’histogramme, ou expansion de dynamique, est une transformation affine du niveau de gris des pixels de telle sorte que l’image utilise toute la dynamique de représentation. 

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page 35 

f new[x,y]= f [x,y]−Nmin⋅ 2 D−1 

Nmax−Nmin 

image d’origine f[x,y] 

expansion de dynamique fnew[x,y] Nmax Nmin 2D ­ 1 

histogramme d’origine histogramme normalisé 

Pour rendre la normalisation moins sensible aux valeurs marginales (outliers), on utilise généralement un paramètre , 0<<1,et on prend : 

Nmin∈HC−1 Nmax∈HC−11− 

Histogramme : égalisation 

L’égalisation d’histogramme est une transformation des niveaux de gris dont le principe est d’équilibrer le mieux possible la distribution des pixels dans la dynamique (Idéalement, on cherche à obtenir un histogramme plat). 

f new[ x,y]=2D−1⋅HC wh 

f [ x,y] 

Antoine MANZANERA ­ Cours TERI – Master IAD UPMC Paris 6 

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Histogramme de f Histogramme de fnew 

Original f[x,y] Histogramme 

Histogramme cumulé de f 

cumulé de fnew 

Après égalisation fnew[x,y] 

Le résultat est une augmentation globale du contraste dans l’image. Notez dans l’exemple ci­dessus l’accentuation des défauts avec la mise en évidence du bruit spatial fixe (effet de tramage) de l’imageur infra­rouge. 

Histogramme : segmentation 

Il existe des techniques de segmentation basées sur un regroupement des niveaux de gris à partir de l’histogramme. Ces techniques sont rarement efficaces car elles ne considèrent que la valeur des pixels sans tenir compte de critères géométriques ou topologiques (voir cours Segmentation). Par exemple, la méthode ci­dessous calcule un certain nombre de quantiles à partir de l’histogramme cumulé, les regroupe par classes en fonction d’un critère de distance, puis attribut la même étiquette aux pixels dont la valeur est la plus proche d’une classe donnée : 

Antoine MANZANERA ­ Cours TERI – Master IAD UPMC Paris 6 

page 37 

Histogramme Image originale 

cumulé avec agrégation des quantiles 

Image segmentée 

III­4 : Le modèle différentiel 

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page 38 

Dans le modèle différentiel, on considère l’image comme une fonction continue f(x,y), dont on étudie le comportement local à l’aide de ses dérivées. Une telle étude, fondée sur la formule de Taylor, n’a de sens que si la fonction f a une certaine régularité, ce qui constitue le problème clef des méthodes différentielles. 

Au premier ordre, on peut ainsi associer à chaque point (x,y) un repère propre (t,g), où le vecteur t donne la direction de l’isophote (ligne de variation minimale) et g la direction orthogonale, celle du gradient. ∇I ∇I ggGrâce au plongement dans le continu, le modèle différentiel permet en outre d’exprimer un grand nombre d’opérations d’analyse en termes d’équations aux dérivées partielles (EDP), ce qui permet de donner un fondement 

t t 

mathématique satisfaisant aux traitements et aussi de fournir des méthodes pour les calculer, par des schémas numériques de résolution. φ 

x 

y 

φ 

x 

y 

III­5 : Le modèle ensembliste 

En morphologie mathématique, l’image est considérée comme un ensemble, dont on étudie les propriétés en fonction de relations locales avec un ensemble de référence (élément structurant) en termes d’intersection et d’inclusion (relations en tout­ou­rien). 

B∩X =∅ 

B⊂X 

B∩X ≠∅ 

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page 39 

Érosion et Dilatation 

Antoine MANZANERA ­ Cours TERI – Master IAD UPMC Paris 6 

page 40 

Les transformations morphologiques sont définies à partir des 2 opérateurs ensemblistes de base que sont l’érosion et la dilatation 

Original (Matisse ­ 1952) BX ={x ∈R2 ;B x∩X ≠∅} BX ={x ∈R2 ;B x⊂X } 

(élément structurant : disque) 

Antoine MANZANERA ­ Cours TERI – Master IAD UPMC Paris 6 

Érosion et Dilatation 

L’érosion et la dilatation, et par suite l’ensemble des transformations morphologiques, se généralisent des ensembles (Images binaires) aux fonctions (Images en niveaux de gris) par l’intermédiaire des ensembles de niveaux : 

I n={x ∈R٢ ;I x n } 

MIN MAX 

Original (Man Ray ­ 1924) BI 

BI (élément structurant : losange) 

page 41 

III­6 : Le modèle discret 

La géométrie discrète est une discipline au moins aussi ancienne que le traitement d’images. Alors que le modèle différentiel considère les structures géométriques (courbes, surfaces, droites, etc) comme des approximations numériques de leurs homologues continues, ou que le modèle fréquentiel traduit la discrétisation en termes de perte d’information, le modèle discret, lui, intègre l’espace échantillonné comme cadre mathématique, et s’efforce de donner un cadre formel aux structures géométriques discrètes : définition, propriétés, théorèmes,… 

Quelle est la distance 

Qu’est­ce qu’un trou ? Qu’est­ce qu’une entre les 2 points ? 

droite ? 

Antoine MANZANERA ­ Cours TERI – Master IAD UPMC Paris 6 

page 42 

Antoine Pavages du plan Un pavage du plan est une partition du plan en cellules élémentaires (pixels). Il n’existe que 3 pavages réguliers du plan : 

triangulaire carré hexagonal 

… mais de nombreux pavages irréguliers : 

MANZANERA ­ Cours TERI – Master IAD UPMC Paris 6page 43 

Antoine Pavages du plan D’autres pavages irréguliers du plan… 

MANZANERA ­ Cours TERI – Master IAD UPMC Paris 6page 44 

Pavage apériodique de Penrose 

Pavage périodique d’Escher 

Pavages et maillages 

A tout pavage du plan on peut associer un graphe où les sommets (noeuds) représentent les cellules élémentaires, et où les arêtes représentent la relation d’adjacence entre les cellules (2 cellules sont adjacentes si elles ont un côté en commun). Un tel graphe est un maillage du plan. 

Les pavages et les maillages réguliers sont duaux : 

Pavage triangulaire Pavage carré Pavage hexagonal 

Antoine MANZANERA ­ Cours TERI – Master IAD UPMC Paris 6 

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Maillage triangulaire Maillage carré Maillage hexagonal 

Questions : 

­ représentation dans Z2 ? 

­ combien de directions ? 

­ récursivité ? 

Maillage et connexité 

Les relations topologiques dans les images discrètes sont définies à partir de la relation de connexité induite par le graphe du maillage (X,S), où X représente les sommets et S les arêtes. X⊂Z2;S⊂X 2 

Soient x et y 2 points de X, par définition x et y sont voisins si : 

x≈y⇔x,y∈S 

maille carrée 4­connexe 

maille carrée 8­connexe 

maille triang. 6­connexe 

maille triang. 6­connexe 

La clôture transitive de la relation de voisinage est une relation d’équivalence « il existe un chemin connexe entre x et y » : 

x~y⇔∃{x1,…, x n}/ x≈x1,… , xi≈xi1,… ,x n≈y Les classes d’équivalence de cette relation s’appellent les composantes connexes de X 

Antoine MANZANERA ­ Cours TERI – Master IAD UPMC Paris 6 

Topologie dans la maille carrée 

Dans la maille carrée, la notion de trou dans un objet X (X ⊂Z2), qui doit correspondre à une composante connexe finie du complémentaire Xc, n’est pas bien définie… 

Ce problème est lié à la validité du théorème de Jordan, selon lequel une courbe simple fermée sépare le plan en 2 composantes connexes, dont une bornée. 

…sauf si l’on considère des connexités différentes pour X et pour Xc : 

Antoine MANZANERA ­ Cours TERI – Master IAD UPMC Paris 6 

8­connexité 4­connexité 

(8,4)­connexité 

(4,8)­connexité Questions : 

combien de composantes connexes, combien de trous compte l’image ci­contre 

Le théorème de Jordan est vérifié pour ces connexités. 

­ en (8,4)­connexité ? ­ en (4,8)­connexité ? 

Métrique dans la maille carrée 

Le graphe du maillage induit également une distance dans le plan discret, la distance entre 2 points x et y étant définie par la longueur du plus court chemin connecté entre x et y. En pondérant toutes les arêtes du maillage par la valeur 1, on trouve : 

distance de la 4­connexité 

1 distance de la 8­connexité d ٤ x,y=∣x١ −y١∣∣x٢−y٢∣ 

1 1 

d ٨x,y=max∣x١ −y١∣,∣x٢−y٢∣ 

On peut aussi pondérer différemment les arêtes du maillage 8­connexe, voire utiliser des maillages plus complexes (i.e. des voisinages plus grands) : 

4 

7 11 35 distance du chamfrein (3,4) 

distance du chamfrein (5,7,11) 

Questions : 

calculer les distances d4(x,y), d8(x,y), dch(3,4)(x,y), dch(5,7,11)(x,y) entre les 2 points x et y ci­contre : x 

Antoine MANZANERA ­ Cours TERI – Master IAD UPMC Paris 6 

y 

Conclusion 

A retenir pour ce cours : Équivalence convolution / multiplication 

­ image numérique 

modèle linéaire ­ échantillonnage modèle fréquentiel 

­ quantification ­ histogramme ­ convolution Filtres différentiels 

Ondelettes 

Corrélation 

– ACP ­ représentation fréquentielle 

­ connexité et distance discrètes modèle différentielmodèle 

…/… 

statistique 

Morphologie EDP / Ensemble de niveaux 

statistique modèle ensembliste 

Antoine MANZANERA ­ Cours TERI – Master IAD UPMC Paris 6 

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Sources et bibliographie ­ Liens utiles 

Livres : 

Pages web : 

Antoine MANZANERA ­ Cours TERI – Master IAD UPMC Paris 6 

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