Systèmes de numération (système logique )

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il y a 4 ans

Chapitre Chapitre 1 1 : Systèmes de numération

Plan: 1. Introduction 2. Systèmes de numération

Système décimal
Système •Système binaire binaire , , octal octal et et hexadécimal hexadécimal
Conversion d’un système de numération vers un autre système .
Opérations arithmétiques en binaire, octal et hexadécimal.

Objectifs Objectifs

Comprendre c’est quoi un système de numération .
Apprendre la méthode de conversion d’un système à un autre autre . .
Apprendre à faire des opérations arithmétiques en binaire.

Introduction Introduction

Les informations traitées par les ordinateurs sont de différentes natures : nombres, texte, images, sons, vidéo, programmes, etc…
Dans un ordinateur, elles sont toujours représentées sous forme binaire (BIT : Binary digIT) sous forme binaire (BIT : Binary digIT)
Toute information est représentée par une suite finie de 0 et de 1.

Introduction Introduction

Nous avons pris l’habitude de représenter les nombres en utilisant dix symboles différents: 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9
Ce système est appelé le système décimal (déci signifie dix).
Il existe cependant d’autres formes de numération qui fonctionnent en utilisant un nombre de symboles distincts.

– Exemple :

• système système binaire binaire (bi: (bi: deux), deux),
le système octal (oct: huit),
le système hexadécimal (hexa: seize).
En fait, on peut utiliser n’importe quel nombre de symboles différents (pas nécessairement des chiffres).
Dans un système de numération : le nombre de symboles distincts est appelé la base du système de numération.

Système de numération: Définition

Un système de numération décrit la façon avec laquelle les nombres sont représentés.
Un système de numération est défini par : – Un alphabet A : ensemble de symboles ou chiffres, – des règles d’écriture des nombres : Juxtaposition de symboles – des règles d’écriture des nombres : Juxtaposition de symboles

1 1 . . Le Le système système décimal décimal

On utilise dix symboles différents:

{ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }

N’importe quelle combinaison des symboles { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } nous donne un nombre.

2 3 3 4 5 6 7

Poids fort Poids faible

345 , 567

Partie fractionnelle Partie entière

Développement Développement en en polynôme polynôme d’un d’un nombre nombre dans dans le le système système décimal décimal

Soit le nombre 1978, ce nombre peut être écrit sous la forme suivante :

1978

= 1000 +++ 900 870 1978

= 1000*1 + 1*810*7100*9 + + 1978 =

=10*810*710*910*1 3 + + 2 + + 1 + + 0 Ce format s’appelle la forme polynomiale

Un nombre réel peut être écrit aussi sous la forme polynomiale

10*610*210*810*710*910*1265,1978 =

3 + 2 + 1 + 0 + − 1 + − 2 + 10*5 − 3 7

Comptage Comptage en en décimal décimal

Sur une seule position : 0 ,1,2,3,4,5,….9= 101-1
Sur deux positions : 00 , 01,02, …..,99=102-1
Sur trois positions 000,001,……,999=103-1
• Sur Sur n n positions positions : : minimum minimum 0 0 maximum 10n-1 nombre de combinaisons 10n

2 2 . . Système Système binaire binaire ( ( système système à à base base 2 ): ): exemple exemple illustratif illustratif

Supposons qu’on a 14 jetons , si on forme des groupes de 10 jetons. On va obtenir 1 seul groupe et il reste 4 jetons.

1 1 4 4Les dizaines

Les unités 9

. Maintenant on va former des groupes de 2 jetons ( on obtient 7 groupes)

. Par la suite on va regrouper les 7 groupes 2 à 2 ( on obtient 3 groupes ).

. On va regrouper ces derniers aussi 2 à 2 ( on obtient 1 seul groupe ) . Le schéma illustre le principe :

Nombre de jetons qui restent en dehors des groupes : 0 Nombre de groupes qui contiennent 2 jetons : 1 Nombre de groupes qui contiennent 2 groupes de 2 jetons : 1 Nombre de groupes qui contiennent des groupes de 2 groupes de 4 jetons : 1

Si on regroupe les différents chiffres on obtient : 1110 1110 est la représentation de 14 dans la base 2

Dans le système binaire, pour exprimer n’importe quelle valeur on utilise uniquement 2 symboles : { 0 , 1}

Un bit

( 1101)2 La base

( ( 1 1 1 1 0 0 1)1)2 2 Le bits du poids forts Le bits du poids faible

. Un nombre dans la base 2 peut être écrit aussi sous la forme polynomial

(1110)

+++=

)14(2*02*12*12*1 3

2 1 0 = 10 (1110,101) 2

+++=

)625,14(2*12*02*12*02*12*12*1 3

2 1 0 + −

1 + − 2 + − 3 = 10

Comptage Comptage en en binaire binaire

Sur un seul bit : 0 , 1 Sur 3 Bits Binaire Décimal .Sur 2 bits :

000 0001 1Binaire Décimal 010 010

2 2011 3000100 4011101 5102110 611

111

4 combinaisons= 22 8 combinaisons= 23

Le Le système système octal octal ( ( base base 8 8 )

8 symboles sont utilisés dans ce système: { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }
Exemple 1 :

(127) (127)

= =

8*78*28*1 8*78*28*1 2 2 + + 1 1 + + 0 0 (127,65)

8*58*68*78*28*1 2 + 1 + 0 + − 1 + − 2 Exemple :2 Le nombre (1289) n’existe pas dans la base 8 puisque les symboles 8 et 9 n’appartiennent pas à la base .

Le Le système système hexadécimal hexadécimal ( ( base base 16 16 )

On utilise seize (16) symboles différents:

Décimal Hexadécimal 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 (17) (17)

16 16

= =

16*716*1 16*716*1 1 + + 0 16

+ B 0 = 1 + 6 7 8 6 (AB) 16* 16* 1*1116*10 7 8 9 9 10 A 11 B 12 C 13 D 14 E 15

F 14

Résumé Résumé

Dans une base X , on utilise X symboles distincts pour représenter les nombres.
La valeur de chaque symbole doit être strictement inférieur à la base X.
Chaque nombre dans une base X peut être écrit sous sa forme polynomiale polynomiale . .

. Conversion Conversion d’une d’une base base X à à la la base base 1010

Cette conversion est assez simple puisque il suffit de faire le développement en polynôme de ce nombre dans la base X , et de faire la somme par la suite.

Exemple Exemple : :

(1101)

)13(2*12*02*12*1 3

+ 2 + 1 + 0 = 10 (1A7)

16*1 2

+ A

16*116*716* 1 + 0 = 2 + 16*716*10 1 + 0 =++= 256 )423(7160 10 (1101,101)

)625,13(2*12*02*12*12*02*12*1 3

+ 2 + 1 + 0 + −

1 + − 2 + − 3 = 10 )4,23(4,03205*25*35*4)2,43(

+ 0 + −

1 =++= 10

Exercice Exercice

Effectuer les transformations suivantes à la base 10 ?

– (123)6=(?)10 – (45,76)8 =(?)10 – (1100,11)2 =(?)10 – – (1ABC) (1ABC)16 =(?)

=(?)10

Conversion Conversion de de la la base base 10 10 à à la la base base 2

Le principe consiste à faire des divisions successives du nombre sur 2 , et prendre le reste des divisions dans l’ordre inverse.

35 2Exemple 1 : (35)10=(?)2

1 17 21 8 8 2 20 4 2Après division : on obtient : (35)10=(100011)2

20 2

0 1 2

1 0

Conversion Conversion de de la la base base 10 10 à à la la base base 2 2 : : cas cas d’un d’un nombre nombre réel réel

Un partie nombre fractionnelle. réel est constitué de deux parties : la partie entière et la • La successives. partie entière est transformée en effectuant des divisions • La multiplications partie fractionnelle successives est transformée par 2 . en effectuant des Exemple : 35,625=(?)2

0,625 * 2 = 1 ,25

P.E= 35 = (100011)2

19 0,25 * 2 = 0 ,5 0,5 * 2 = 1 ,0 PF= 0,625 = (?)2

(0,625)=(0,101)2 Donc 35,625=(100011,101)2

Exemple 2: (0,6)10=(?)2

0,6 * 2 = 1,2 0,2 * 2 = 0,4 0,4 * 2 = 0,8 0,8 * 2 = 1,6

(0,6)= (0,1001)2

Remarque :

Le nombre de bits après la virgule va déterminer la précision .

Exercice :

Effectuer les transformations suivantes :

(23,65)=(? )2 (18,190)=(?)2

Conversion Conversion du du décimal décimal à à une une base base X X

La conversion se fait en prenant les restes des divisions successives sur la base X dans le sens inverse.

Exemple : 35 335 = (?)3

2 11 3 2 3 335=(1022)3

0 1 301

Question : Effectuer les transformations suivantes :

(43)10=(?)2=(?)5 =(?)8 =(?)16

43 21 21 2101 20 5 221 2

0 1 2

1 0

43 53 8 513 511

(133)5

(101011)2

43 83 5 805

43 1611 2 1602

(53)8

(2B)16

Conversion Conversion d’une d’une base base b b1 1 à à une une base base b b2

Il n’existe pas de méthode pour passer d’une base b1 à une autre base b2 directement.
L’idée est de convertir le nombre de la base b1 à la base 10 , en suit convertir le résultat de la base 10 à la base b2 .

b1 ?

Développement en polynôme Divisions successives

Exemple : ( 34)5=(?)7

5*45*3)34( 5 =

+ 0 =+= )19(415 10 = (?) 7 (19)( 34)105=(25)=(25)7 7

19 75 2 702

Exercice : effectuer les transformations suivantes

(43)(2A)6=(?)16=(?)5=(?)9

8 24

Conversion Conversion : : binaire binaire → octaloctal

. En octal chaque, symbole de la base s’écrit sur 3

Octal 0Binaire 000 bits en binaire.

1001 . L’idée de base est de replacer chaque symbole

2010 dans la base octal par sa valeur en binaire sur 3

3011 bits ( faire des éclatement sur 3 bits ).

100 5101 Exemples :

6110 )345(

8011=( 100 )101 27

111 )76,65( 8110=( 101 111, )110 2)34,35(8011=( 101 )100110, 2Remarque : le remplacement se fait de droit à gauche pour la partie entière et de gauche à droite pour la partie fractionnelle .

Conversion Conversion : : Octal Octal → binairebinaire

. L’idée de base est de faire des regroupements de 3 bits à partir du poids . Par la faible. suite remplacer chaque regroupement par la valeur octal correspondante .

Exemple Exemple : :

( 11001010010110 ) 2001110=( 010 010 )110 2=( 31226 ) 8(110010100 , 10101 ) 2110= ( 010 100 , )001101 2)51,624=( 8Remarque : le regroupement se fait de droit à gauche pour la partie entière et de gauche à droite pour la partie fractionnelle .

Conversion Conversion : : hexadécimal hexadécimal → binairebinaire

Décimal Hexadécimal 0 0 1 1 . En Hexa chaque symbole de la base s’écrit sur 4 bits. 2

3 2 3 . L’idée de base est de replacer chaque symbole par sa valeur en binaire sur 4 bits ( faire des éclatement sur 4 bits ).

4 5 6 7 4 5 6 7 8 8 8 8 9 9 10 A 11 B 12 C 13 D 14 E Exemple : 15 F B)345( 16 0011=( 0100 0101 )1011 2)6F4,3(AB

16 = ( 1010 1011 0011 0100, 1111 0110 ) 2 27

Conversion Conversion : : binaire binaire →hexadécimal hexadécimal

. L’idée de base est de faire des regroupements de 4 bits à partir du poids faible.

Par la suite remplacer chaque regroupement par la valeur Héxa correspondante . Exemple : ( 11001010100110 ) 21100=( 0010 1010 )0110 2)6A32=( 16 ( 110010100 , 10101 ) 210011000= ( )00011010,0100 2)8,A194=( 16 28

. Opérations Opérations arithmétiques arithmétiques en en binaire binaire

00 0

01 1

10 +11 1 1 0

111 1 0 0 0 1 1

+ 1 0 0 0 1 0 1 1110111

Opérations Opérations arithmétiques arithmétiques en en octal octal

1 1 4 3 6 5

+ 4 4 5 5 1 1

5 8

116

En octal 8 s’écrit 10

En octal 11 s’écrit 13

Le résultat final : (5036)8

Opérations Opérations arithmétiques arithmétiques en en hexadécimal hexadécimal

14 8 6 5 + 7 A 5 1

12 12

18 18

11 11

6 6

En hexa 11 s’écrit B En hexa 18 s’écrit 12

Le résultat final : (C2B6)1631

Exercice

Effectuer les opérations suivantes et transformer le résultat au décimal à chaque fois:
(1101,111)2+(11,1)2=(?)2
(43)8+(34)8=(?)8
(43)66 +(34)66 =(?)6 6
(AB1)16+(237)8=(?)16

. Quel Quel est est le le système système utilisé utilisé dans dans les les dispositifs dispositifs numériques numériques ? ?

. Les machines numériques utilisent le système binaire. . Dans le système binaire : uniquement 2 symboles sont utilisés : 0 et 1. . C’est facile de représenter ces deux symboles dans les machines numériques. . Le 0 et le 1 sont représentés par deux tensions .

5 v Binaire

Tension Binaire : 1 (logique )

2,8 v

0 V Inutilisée

5 V 0,8 v 0 v

Binaire : 0

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