Systèmes de numération (système logique )

Chapitre Chapitre 1 1 : Systèmes de numération 

Plan: 1. Introduction 2. Systèmes de numération 

• Système décimal 
• Système •Système binaire binaire , , octal octal et et hexadécimal hexadécimal 
• Conversion d’un système de numération vers un autre système . 
• Opérations arithmétiques en binaire, octal et hexadécimal. 

1 

Objectifs Objectifs 

• Comprendre c’est quoi un système de numération . 
• Apprendre la méthode de conversion d’un système à un autre autre . . 
• Apprendre à faire des opérations arithmétiques en binaire. 

2 

Introduction Introduction 

• Les informations traitées par les ordinateurs sont de différentes natures : nombres, texte, images, sons, vidéo, programmes, etc… 
• Dans un ordinateur, elles sont toujours représentées sous forme binaire (BIT : Binary digIT) sous forme binaire (BIT : Binary digIT) 
• Toute information est représentée par une suite finie de 0 et de 1. 

3 

Introduction Introduction 

• Nous avons pris l’habitude de représenter les nombres en utilisant dix symboles différents: 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 
• Ce système est appelé le système décimal (déci signifie dix). 
• Il existe cependant d’autres formes de numération qui fonctionnent en utilisant un nombre de symboles distincts. 

– Exemple : 

• • système système binaire binaire (bi: (bi: deux), deux), 
• le système octal (oct: huit), 
• le système hexadécimal (hexa: seize). 
• En fait, on peut utiliser n’importe quel nombre de symboles différents (pas nécessairement des chiffres). 
• Dans un système de numération : le nombre de symboles distincts est appelé la base du système de numération. 

4 

Système de numération: Définition 

• Un système de numération décrit la façon avec laquelle les nombres sont représentés. 
• Un système de numération est défini par : – Un alphabet A : ensemble de symboles ou chiffres, – des règles d’écriture des nombres : Juxtaposition de symboles – des règles d’écriture des nombres : Juxtaposition de symboles 

5 

1 1 . . Le Le système système décimal décimal 

• On utilise dix symboles différents: 

{ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } 

• N’importe quelle combinaison des symboles { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } nous donne un nombre. 

2 3 3 4 5 6 7 

Poids fort Poids faible 

345 , 567 

Partie fractionnelle Partie entière 

6 

Développement Développement en en polynôme polynôme d’un d’un nombre nombre dans dans le le système système décimal décimal 

• Soit le nombre 1978, ce nombre peut être écrit sous la forme suivante : 

1978 

= 1000 +++ 900 870 1978 

= 1000*1 + 1*810*7100*9 + + 1978 = 

=10*810*710*910*1 3 + + 2 + + 1 + + 0 Ce format s’appelle la forme polynomiale 

Un nombre réel peut être écrit aussi sous la forme polynomiale 

10*610*210*810*710*910*1265,1978 = 

3 + 2 + 1 + 0 + − 1 + − 2 + 10*5 − 3 7 

Comptage Comptage en en décimal décimal 

• Sur une seule position : 0 ,1,2,3,4,5,….9= 101-1 
• Sur deux positions : 00 , 01,02, …..,99=102-1 
• Sur trois positions 000,001,……,999=103-1 
• • Sur Sur n n positions positions : : minimum minimum 0 0 maximum 10n-1 nombre de combinaisons 10n 

8 

2 2 . . Système Système binaire binaire ( ( système système à à base base 2 ): ): exemple exemple illustratif illustratif 

Supposons qu’on a 14 jetons , si on forme des groupes de 10 jetons. On va obtenir 1 seul groupe et il reste 4 jetons. 

1 1 4 4Les dizaines 

Les unités 9 

. Maintenant on va former des groupes de 2 jetons ( on obtient 7 groupes) 

. Par la suite on va regrouper les 7 groupes 2 à 2 ( on obtient 3 groupes ). 

. On va regrouper ces derniers aussi 2 à 2 ( on obtient 1 seul groupe ) . Le schéma illustre le principe : 

Nombre de jetons qui restent en dehors des groupes : 0 Nombre de groupes qui contiennent 2 jetons : 1 Nombre de groupes qui contiennent 2 groupes de 2 jetons : 1 Nombre de groupes qui contiennent des groupes de 2 groupes de 4 jetons : 1 

Si on regroupe les différents chiffres on obtient : 1110 1110 est la représentation de 14 dans la base 2 

10 

• Dans le système binaire, pour exprimer n’importe quelle valeur on utilise uniquement 2 symboles : { 0 , 1} 

Un bit 

( 1101)2 La base 

( ( 1 1 1 1 0 0 1)1)2 2 Le bits du poids forts Le bits du poids faible 

. Un nombre dans la base 2 peut être écrit aussi sous la forme polynomial 

(1110) 

2 

+++= 

)14(2*02*12*12*1 3 

2 1 0 = 10 (1110,101) 2 

+++= 

)625,14(2*12*02*12*02*12*12*1 3 

2 1 0 + − 

1 + − 2 + − 3 = 10 

11 

Comptage Comptage en en binaire binaire 

• Sur un seul bit : 0 , 1 Sur 3 Bits Binaire Décimal .Sur 2 bits : 

000 0001 1Binaire Décimal 010 010 

2 2011 3000100 4011101 5102110 611 

3 

111 

7 

4 combinaisons= 22 8 combinaisons= 23 

12 

Le Le système système octal octal ( ( base base 8 8 ) 

• 8 symboles sont utilisés dans ce système: { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } 
• Exemple 1 : 

(127) (127) 

8 

= = 

8*78*28*1 8*78*28*1 2 2 + + 1 1 + + 0 0 (127,65) 

8 

= 

8*58*68*78*28*1 2 + 1 + 0 + − 1 + − 2 Exemple :2 Le nombre (1289) n’existe pas dans la base 8 puisque les symboles 8 et 9 n’appartiennent pas à la base . 

13 

Le Le système système hexadécimal hexadécimal ( ( base base 16 16 ) 

• On utilise seize (16) symboles différents: 

Décimal Hexadécimal 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 (17) (17) 

16 16 

= = 

16*716*1 16*716*1 1 + + 0 16 

= 

A 

1 

+ B 0 = 1 + 6 7 8 6 (AB) 16* 16* 1*1116*10 7 8 9 9 10 A 11 B 12 C 13 D 14 E 15 

F 14 

Résumé Résumé 

• Dans une base X , on utilise X symboles distincts pour représenter les nombres. 
• La valeur de chaque symbole doit être strictement inférieur à la base X. 
• Chaque nombre dans une base X peut être écrit sous sa forme polynomiale polynomiale . . 

15 

3. . Conversion Conversion d’une d’une base base X à à la la base base 1010 

• Cette conversion est assez simple puisque il suffit de faire le développement en polynôme de ce nombre dans la base X , et de faire la somme par la suite. 

Exemple Exemple : : 

(1101) 

2 

= 

)13(2*12*02*12*1 3 

+ 2 + 1 + 0 = 10 (1A7) 

16 

= 

16*1 2 

+ A 

16*116*716* 1 + 0 = 2 + 16*716*10 1 + 0 =++= 256 )423(7160 10 (1101,101) 

2 

= 

)625,13(2*12*02*12*12*02*12*1 3 

+ 2 + 1 + 0 + − 

1 + − 2 + − 3 = 10 )4,23(4,03205*25*35*4)2,43( 

5 

= 

1 

+ 0 + − 

1 =++= 10 

16 

Exercice Exercice 

• Effectuer les transformations suivantes à la base 10 ? 

– (123)6=(?)10 – (45,76)8 =(?)10 – (1100,11)2 =(?)10 – – (1ABC) (1ABC)16 =(?) 

=(?)10 

17 

Conversion Conversion de de la la base base 10 10 à à la la base base 2 

Le principe consiste à faire des divisions successives du nombre sur 2 , et prendre le reste des divisions dans l’ordre inverse. 

35 2Exemple 1 : (35)10=(?)2 

1 17 21 8 8 2 20 4 2Après division : on obtient : (35)10=(100011)2 

20 2 

0 1 2 

1 0 

18 

Conversion Conversion de de la la base base 10 10 à à la la base base 2 2 : : cas cas d’un d’un nombre nombre réel réel 

• Un partie nombre fractionnelle. réel est constitué de deux parties : la partie entière et la • La successives. partie entière est transformée en effectuant des divisions • La multiplications partie fractionnelle successives est transformée par 2 . en effectuant des Exemple : 35,625=(?)2 

0,625 * 2 = 1 ,25 

P.E= 35 = (100011)2 

19 0,25 * 2 = 0 ,5 0,5 * 2 = 1 ,0 PF= 0,625 = (?)2 

(0,625)=(0,101)2 Donc 35,625=(100011,101)2 

• Exemple 2: (0,6)10=(?)2 

0,6 * 2 = 1,2 0,2 * 2 = 0,4 0,4 * 2 = 0,8 0,8 * 2 = 1,6 

(0,6)= (0,1001)2 

Remarque : 

Le nombre de bits après la virgule va déterminer la précision . 

Exercice : 

Effectuer les transformations suivantes : 

(23,65)=(? )2 (18,190)=(?)2 

20 

Conversion Conversion du du décimal décimal à à une une base base X X 

• La conversion se fait en prenant les restes des divisions successives sur la base X dans le sens inverse. 

Exemple : 35 335 = (?)3 

2 11 3 2 3 335=(1022)3 

0 1 301 

• Question : Effectuer les transformations suivantes : 

(43)10=(?)2=(?)5 =(?)8 =(?)16 

21 

43 21 21 2101 20 5 221 2 

0 1 2 

1 0 

43 53 8 513 511 

(133)5 

(101011)2 

43 83 5 805 

43 1611 2 1602 

(53)8 

(2B)16 

22 

Conversion Conversion d’une d’une base base b b1 1 à à une une base base b b2 

• Il n’existe pas de méthode pour passer d’une base b1 à une autre base b2 directement. 
• L’idée est de convertir le nombre de la base b1 à la base 10 , en suit convertir le résultat de la base 10 à la base b2 . 
  

b1 ? 

b2 

Développement en polynôme Divisions successives 

10 

23 

Exemple : ( 34)5=(?)7 

5*45*3)34( 5 = 

1 

+ 0 =+= )19(415 10 = (?) 7 (19)( 34)105=(25)=(25)7 7 

19 75 2 702 

Exercice : effectuer les transformations suivantes 

(43)(2A)6=(?)16=(?)5=(?)9 

8 24 

Conversion Conversion : : binaire binaire → octaloctal 

. En octal chaque, symbole de la base s’écrit sur 3 

Octal 0Binaire 000 bits en binaire. 

1001 . L’idée de base est de replacer chaque symbole 

2010 dans la base octal par sa valeur en binaire sur 3 

3011 bits ( faire des éclatement sur 3 bits ). 

4 

100 5101 Exemples : 

6110 )345( 

8011=( 100 )101 27 

111 )76,65( 8110=( 101 111, )110 2)34,35(8011=( 101 )100110, 2Remarque : le remplacement se fait de droit à gauche pour la partie entière et de gauche à droite pour la partie fractionnelle . 

25 

Conversion Conversion : : Octal Octal → binairebinaire 

. L’idée de base est de faire des regroupements de 3 bits à partir du poids . Par la faible. suite remplacer chaque regroupement par la valeur octal correspondante . 

Exemple Exemple : : 

( 11001010010110 ) 2001110=( 010 010 )110 2=( 31226 ) 8(110010100 , 10101 ) 2110= ( 010 100 , )001101 2)51,624=( 8Remarque : le regroupement se fait de droit à gauche pour la partie entière et de gauche à droite pour la partie fractionnelle . 

26 

Conversion Conversion : : hexadécimal hexadécimal → binairebinaire 

Décimal Hexadécimal 0 0 1 1 . En Hexa chaque symbole de la base s’écrit sur 4 bits. 2 

3 2 3 . L’idée de base est de replacer chaque symbole par sa valeur en binaire sur 4 bits ( faire des éclatement sur 4 bits ). 

4 5 6 7 4 5 6 7 8 8 8 8 9 9 10 A 11 B 12 C 13 D 14 E Exemple : 15 F B)345( 16 0011=( 0100 0101 )1011 2)6F4,3(AB 

16 = ( 1010 1011 0011 0100, 1111 0110 ) 2 27 

Conversion Conversion : : binaire binaire →hexadécimal hexadécimal 

. L’idée de base est de faire des regroupements de 4 bits à partir du poids faible. 

Par la suite remplacer chaque regroupement par la valeur Héxa correspondante . Exemple : ( 11001010100110 ) 21100=( 0010 1010 )0110 2)6A32=( 16 ( 110010100 , 10101 ) 210011000= ( )00011010,0100 2)8,A194=( 16 28 

4. . Opérations Opérations arithmétiques arithmétiques en en binaire binaire 

+ 

00 0 

+ 

01 1 

+ 

10 +11 1 1 0 

111 1 0 0 0 1 1 

+ 1 0 0 0 1 0 1 1110111 

1 

0 

29 

Opérations Opérations arithmétiques arithmétiques en en octal octal 

1 1 4 3 6 5 

+ 4 4 5 5 1 1 

5 8 

116 

En octal 8 s’écrit 10 

En octal 11 s’écrit 13 

0 

3 

Le résultat final : (5036)8 

30 

Opérations Opérations arithmétiques arithmétiques en en hexadécimal hexadécimal 

14 8 6 5 + 7 A 5 1 

12 12 

18 18 

11 11 

6 6 

C 

En hexa 11 s’écrit B En hexa 18 s’écrit 12 

2 

B 

Le résultat final : (C2B6)1631 

Exercice 

• Effectuer les opérations suivantes et transformer le résultat au décimal à chaque fois: 
• (1101,111)2+(11,1)2=(?)2 
• (43)8+(34)8=(?)8 
• (43)66 +(34)66 =(?)6 6 
• (AB1)16+(237)8=(?)16 

32 

5. . Quel Quel est est le le système système utilisé utilisé dans dans les les dispositifs dispositifs numériques numériques ? ? 

. Les machines numériques utilisent le système binaire. . Dans le système binaire : uniquement 2 symboles sont utilisés : 0 et 1. . C’est facile de représenter ces deux symboles dans les machines numériques. . Le 0 et le 1 sont représentés par deux tensions . 

5 v Binaire 

Tension Binaire : 1 (logique ) 

2,8 v 

0 

0 V Inutilisée 

1 

5 V 0,8 v 0 v 

Binaire : 0 

33 

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